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【新智元导读】2月26日，华东说念主数学家王虹和Joshua Zahl的一篇论文，在数学圈炸开了锅。几何测度论中最细心的未解贫瘠——Kakeya勾搭料到，已在三维空间中被到手阐发！多东说念主猜测：王虹或能锁定下届菲尔兹奖。
一个困扰数学家一个多世纪的超等贫瘠，如今被北大学友攻克了！
最近，纽约大学和不列颠哥伦比亚大学数学造就联手，用一份长达127页说明，认真宣告——「Kakeya勾搭」料到尘埃落定。
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2502.17655
而且，这项接洽得到菲尔兹奖得主极地面笃定，他首肯地示意：
在几何测度论中，最受细心的未解贫瘠之一——Kakeya勾搭（挂谷勾搭）料到，当今如故被王虹和Joshua Zahl说明（在三维空间中)。
Kakeya勾搭的中枢问题是——若是你要在空间里「动掸」一个线段，让它心事统共场合，最小的空间需要多大？
挂谷料到源于日本数学家挂谷宗一（Sōichi Kakeya）1917年提议的一个几何问题
数学家们早已知说念，2D平面不够用，必须通过3D空间来处治问题。
但短处在于，能否找到一个「超等小」的3D区域，仍让这个线段指向每个场合？
如今这个谜团，被破解了！
王虹和Joshua Zahl造就通过层层推导，精妙的逻辑和打算，接洽了在ℝ³中具有以下性质的δ管（δ tubes）勾搭：即不会有太多管说念被包含在消除个凸集V内。
王虹现任纽约大学库朗数学接洽所（NYU Courant）数学副造就，北大数学系本科毕业；Joshua Zahl现任不列颠哥伦比亚大学数学系副造就。
他们得出，来自这么一个勾搭的管说念的并集，必须具有着实最大的体积。最终说明了ℝ³中的每个Kakeya集，齐具有Minkowski和Hausdorff维数3。
一时辰，全网忍不住猜测：若是这篇论文最终通过严格的同业评审，王虹极有可能成为中国首位得回菲尔兹奖的数学家，以及全球第三位拿下菲尔兹奖的女性得主。
前两位分歧是，伊朗裔好意思国数学家Maryam Mirzakhani和乌克兰数学家Maryna Viazovska。
算作数学界至高荣耀，菲尔兹奖每4年颁发一次，只给40岁以下的数学家。
王虹一度登上2026菲尔兹奖得主赔率榜首
DeepMind的接洽科学家Lechao Xiao震恐示意：之前，从未想过耄耋之年能看到此料到被说明。
这一次，中国数学家行将成为开拓者，将在数学史上留住浓墨重彩的一笔。
北大疯东说念主院毕业，学霸典范
拿起王虹，不是数学圈内的东说念主，鲜有东说念主知。
1991年，她出身于山水甲宇宙的桂林。父母齐是广西平乐县沙子中学的通俗寂静，家庭书香氛围浓厚。
然则，行运似乎很早就给这个聪惠的女孩，设立了一大锻练。
5岁收学，两次跳班
4岁那年，一次不测的右臂烫伤，让王虹碰到了一场疼痛。
但这并莫得成为她心里的暗影，更没涓滴动摇她对常识渴慕的决心。
入学前，在父母的全心带领下，年仅5岁的她便如故掌持了一年齿的全部常识，凭借超强学习能力，她径直跳班参加了小学二年齿。
在学习款式上，王虹有着我方的特有的节拍。她不会恭候真挚的讲课进程，而是习尚在每学期运转前，就将统共这个词学期的讲义自学结束。
面对贫瘠，她也一丝径直向真挚乞助，更倾向于颓唐想考、查阅府上，或与同学商讨。
这种学习习尚，不仅培养她苍劲得自学能力，更塑造了其颓唐想考和处治问题得能力，更为日后的学术接洽奠定了坚实的基础。
到了六年齿的时候，王虹再次跳班，径直升入初中。
2004年中考，她到手考入通晓桂林中学，在妙手如云的重心高校，她的获利从全年齿100名以外最终冲入TOP 10。
逐梦数学，从北大到MIT
2007年，当大无数同龄东说念主还在为高考而奋力时，16岁的王虹便以653分优异的获利提前考入了北地面球与空间科学学院。
这个错误被铁拳系列的执行游戏总监/首席制作人原田胜弘发现，他在推特上表示：“SIE，King 是 King，但不是同一个 King 。。。我会去反映一下。”
然则，出于对数学的挚爱，让她在一年后轻薄转入了数学科学学院。
在此时间，她的导师是王立中造就，并在刘张炬造就指导下完成了「经典Hodge表面和度量空间上的Hodge表面」的毕业论文。
本科毕业后，王虹的修业脚步，并未停歇。
2011年和2014年，她先后得回了巴黎轮廓理工学院（École Polytechnique）数学学位，以及巴黎南大学（Paris-Sud Université）数学硕士学位
紧接着在2019年，她在麻省理工学院（MIT）完成了博士学位，导师是Larry Guth。
博士毕业后，王虹的学术之路愈发灿艳。
2019-2021年，她在普林斯顿高档接洽院（IAS）担任博士后成员；2021-2023年，她还在加州大学洛杉矶分校（UCLA）担任助理造就。
面前，王虹任纽约大学库朗数学接洽所（NYU Courant）的数学副造就。
值得一提的是，她的接洽后果得到了海外数学界的高度认同。
2022年，王虹得回了极具声望的「Maryam Mirzakhani New Frontiers Prize」，因在截止性料到、局部光滑性料到及联系问题上的防碍性接洽，而获此盛誉。
这个奖项额外赏赐畴昔两年内得回博士学位的了得女性数学家。
世纪数学贫瘠，无东说念主破解
1917年，S. Kakeya提议了有名的Kakeya针问题：在平面中，旋转一个单元线段（「针」）180 度所需的最小面积是若干？
若是围绕中点旋转，所需面积为π/4单元，而通过一个「三点掉头」款式旋转则只需π/8。
右边的三角形（deltoid）的大小是圆的一半，尽管两个指针齐能旋转经过每个场合
1927年，A. Besicovitch处治了这个问题，给出了一个令东说念主诧异的谜底：通过恰当的款式，旋转一个针只需要纵情小的面积。
乍一看，Kakeya问题和Besicovitch的处治决策，似乎只是是数学上的酷好。
然则，在畴昔的三十年中，东说念主们迟缓果断到，这类问题与许多看似无关的数学范畴联系，波及到数论、几何组合学、算术组合学、震动积分，以至是色散方程和波动方程的分析。
2014年，在Nets Katz、陶哲轩尝试说明Kakeya料到十多年后，陶在他的博客上发布了详细接洽表情的概述，但愿其他数学家有契机我方尝试这个表情。
127页硬核说明
值得一提的是，这一篇长达127页的论文，纲领十分简明。
在论文源流，接洽者概述说念：Kakeya勾搭料到断言，在R^n中，每个Kakeya勾搭的Minkowski维数和Hausdorff维数均为n。
n=2的料到已被处治，当在三维及更高维度下，该问题仍未处治。
而在这项责任中，接洽者处治了三维空间中的Kakeya勾搭料到。
运转，接洽者就给出了定理1.1：ℝ³中的每个Kakeya勾搭的Minkowski维数和 Hausdorff维数均为3。
它是以下这个时期性更强的结果的推行。
接下来，接洽者说明了当勾搭T具有粘性时，定理1.2是成立的。（图1左）
然则，并非统共的管状勾搭齐是粘性的，图1右就展示了一个反例。
为了分析这些反例，他们引入了定理1.2中非集会性假定的两种变体，以及体积测度的两种变体。
随后，哄骗Guth提议的粒子明白变体，接洽者假定了T_ρ内的δ/ρ管摆设成「晶粒」。
接下来，接洽者对粒子的交叠度进行了一种粗表率测度。
假定当两个棱柱ρ，ρ’齐属于勾搭ρ且相交时，它们的相应切平面在δ/(ρc)精度内一致。
由此，就到了本文的一个短处翻新点！
接洽者提议了一个结构定理，该定理找到了一个凸集勾搭W，使得W空闲Katz-Tao Convex Wolff公理，且托付勾搭W中的每个W（界说），齐空闲几个短处性质。
陶哲轩：「下里巴人」版领略来了
为了让公共更好地调治这个问题，陶哲轩也在论文发布后，第一时辰更新了一篇详细的分析。
经过大佬下里巴人的分析，许多东说念主明白了这项接洽的要点和意旨所在。
几何测度论范畴如故取得了一些惊东说念主的进展：王虹和Joshua Zahl刚刚发布了一篇预印本，处治了污名昭著的挂谷勾搭料到（Kakeya set conjecture）的三维情况！
这个料到断言Kakeya勾搭——一个包含每个方朝上单元线段的R^3子集，必须具有便是3的闵可夫斯基维数和豪斯多夫维数。（这个料到还有一个更强的「极大函数」变体，面前仍未处治，尽管本文的表情将给出这个极大函数的一些非粗鲁界限。）
经常东说念主们用小表率0 <δ<1来闹翻化这个料到。粗鲁地说，该料到断言若是有一个由δ×δ×1管构成的族t，其基数为≈δ^-2，何况指向一组δ分离的场合，那么这些管的并集< pan> 的体积应该为≈1。
在这里，迪士尼彩乐园2邀请码咱们对≈的含义稍作模糊，但大致上应该调治为「在体式为Oε（δ^-ε）的因子范畴内，关于纵情ε>0」；零星是，这种示意法不错接收可能由二分抽屉旨趣引起的任何对数亏本。
出于时期原因（包括需要调用前述的二分抽屉旨趣），接洽者试验上处理的是稍小的勾搭 。 其中Y是T中管的「着色」，为勾搭中的每个管T分派一个大的子集Y(T)；但在本商讨中，咱们将忽略这个微妙之处，假定咱们老是不错使用完好的管。
该范畴以前的接洽后果经常蚁集在体式为：
关于多样中间维数0
1995年，在Bourgain早期责任的基础上，Wolff有名地得回了带有d=2.5的(1)式，使用的是当今被称为「Wolff毛刷论证」的表情，该表情基于洽商「毛刷」的大小——即统共通过勾搭中单个管（毛刷的「柄」）的管的并集。
在他们的新论文中，王虹和Zahl培育了d=3的（1）式。说明绝顶长（127页！），何况短处地依赖于他们之前的论文，该论文处治了料到的一个短处「粘性」情况。
在这里，我想尝试转头一下说明的高头绪战略，为了便于发扬，我不详了许多细节，并在多处简化了论证流程。该论证如实使用了之前文件中的许多想想，包括一些来自我与合著者论文中的想想；但所需的案例分析和迭代决策绝顶复杂且考究，需要多种新想想来完成统共这个词论证。
说明(1)式的一个当然战略是尝试对d进行归纳：若是咱们用K(d)示意对统共由≈δ^-2个维度为δ×δ×1的管构成的配置，且这些管具有δ分离的场合，（1）式成立的断言，咱们不错尝试说明对统共0 0是依赖于d的某个小的正数。通过反复迭代这一流程，咱们不错盼望使d纵情接近3。
这类说合归纳法论证的一般原则是发轫以非昭着的款式得回粗鲁蕴含K(d)⇒K(d)但愿这个非昭着的论证不错通过某种扰动或优化，得回短处的校正K(d)⇒K(d+α)。
自从1990年代Bourgain和Wolff的责任以来（其前身是Córdoba的早期责任），兑现这一谋略的圭表战略是践诺某种「表率上的归纳法」。
基本想想如下：让咱们称T中的δ×δ×1管T为「细管」。咱们不错尝试将这些细管分组为尺寸为ρ×ρ×1的「粗管」，其中δ≤ρ≤1是某个中间表率；关于这个简述来说，这里选拔的中间值具体是什么并不零星伏击，但若是需要的话，不错设立ρ=√δ。由于T中场合的δ分离性质，在给定的粗管中最多只可有大要小于便是(ρ/δ)^2个细管，因此咱们至少需要大要大于便是ρ^-2个粗管来心事≈δ^-2个细管。
当今让咱们假定咱们处于「粘本性况，即细管在粗管内尽可能地粘在一说念，因此试验上有一个包含≈ρ^-2个粗管T_ρ的勾搭T_ρ，每个粗管包含大要（ρ/δ）^2个细管。咱们还假定粗管T_ρ在方朝上是ρ分离的，这一假定与咱们在此作念出的其他假定高度一致。
若是咱们如故有了假定K(d)，那么通过在表率ρ而不是δ上应用它，咱们不错得出粗管所占体积的下界：
由于 这实质上告诉咱们粗管的典型多重度μ_fat为约小于ρ^(d-3)； 中的一个典型点应该属于大要μ_fat为约小于ρ^(d-3)个粗管。
当今，在每个粗管T_ρ内，咱们假定有大要(ρ/δ)^2个在方朝上δ分离的细管。若是咱们沿着粗管的轴进行因子为1/ρ的线性缩放，将其出动为1×1×1的管，这将使细管推广为尺寸为δ/ρ×δ/ρ×1的缩放后的管，这些管当今在方朝上≈δ/ρ分离。
这种缩放不影响管的多重度。再次应用K(d)，咱们实质上看到缩放后管的多重度μ_fine，因此，因此T_ρ内的细管的多重度应该为约小于(δ/ρ)^(d-3)。
接下来，咱们不雅察到完好勾搭T中细管的多重度μ实质上应该空闲不等式：
这是因为若是一个给定点最多位于μ_fat个粗管中，且在每个粗管内，一个给定点最多位于该粗管中的μ_fine个细管中，那么它应该最多只可位于μ_fatμ_fine个管中。从直不雅上，这给出了 ，从而在粘本性况下规复了（1）式。
在他们之前的论文中，王虹和Zahl大致大概从这个论证中得回更多结果，得到相通于K(d)⇒K(d+α)的结果，这在粘本性况下大致遵从了Nets Katz和我本东说念主在十多年前的博客著作中商讨过的战略。我不会在这里进一步商议论证的这一部分，请读者参考该论文的媒介；相悖，我将专注于现时论文中处理非粘本性况的论证。
让咱们尝试在非粘本性况下重复上述分析。咱们假定K(d)（或其某些合适的变体），并洽商一些增厚的Kakeya勾搭：
其中，T相通于咱们可能称为表率δ的「Kakeya配置」：一个由δ^-2个维度为δ×δ×1的细管构成的勾搭，这些细管在方朝上δ分离。（试验上，为了使归纳法灵验，咱们必须洽商比这些更一般的管的族，空闲一些圭表的「Wolff公理」而不是场合分离假定；但咱们暂时不详细商讨这个问题。）咱们的谋略是说明相通于K(d+α)的结果，其中α>0，这相配于得回一些校正的体积界限：
这校正了来自K(d)的界限 。 从之前的论文中咱们知说念咱们不错在「粘性」情况下作念到这一丝，是以咱们将假定E是「非粘性的」（不论这具体是什么意思意思）。
一个典型的非粘性设立是当今有mρ^-2个粗管，其中m>>>1是某个多重度（举例，m=δ^-η，其中η>0是一个小常数），每个粗管只包含m^-1 (δ/ρ)^-2个细管。当今咱们濒临一个灾祸的不屈衡：粗管酿成了一个「超等Kakeya配置」，在粗表率ρ上有太多的管，使它们不可能齐在方朝上ρ分离，而粗管内的细管酿成了一个「次级Kakeya配置」，其中莫得填塞的管来心事统共联系场合。因此，咱们不成在职一表率上灵验地应用假定K(d)。
这似乎是一个严重的防碍，因此让咱们换一种想路，洽商一种不同的款式来尝试完成论证——让咱们望望，E会怎么与给定的ρ-球B(x,ρ)相交。
假定K(d)标明E可能阐发得像一个d-维分形，在这种情况下，咱们可能会推测|E∩B(x,ρ)|的大小体式为(ρ/δ)^dδ^3。为了进行论证，假定勾搭E在这个表率上比这更密集，举例咱们有：
对统共x∈E和某个α>0成立。咱们不雅察到ρ-邻域E基本上是 ，因此凭据假定K(d)，其体积为约大于ρ^(3-d)（试验上咱们以至盼望在m上有一些增益，但咱们暂时不尝试捕捉这么的增益）。由于ρ-球的体积为≈ρ^3，这应该意味着E需要大要ρ^-d个球来心事它。应用(3)式，咱们从直不雅上有：
这将给出所需的增益K(d+α)。是以若是咱们大概在某个中间表率ρ展示要求(3)，咱们就赢了。我觉得这是一种[Frostman测度的违反]，因为Frostman类型的界限：
正在被违反。
勾搭E算作厚度为δ管的并集，试验上是δ×δ×δ立方体的并集。但在之前的陶哲轩和Nets Katz、Izabella Laba等的接洽中如故不雅察到，这些Kakeya勾搭倾向于组织成比这些立方体更大的「颗粒」。零星是，关于某些中间表率δ<<
Nets、Izabella和陶哲轩率先提议的「颗粒性」论证需要一个粘性假定，而咱们在此明确不作念这一假定（还需要一个「X射线测度」），因此不成径直用于现时的论证。不外，Guth基于多项式表情诱骗了一种替代的颗粒性表情，不错适用于这种情况。通过再行缩放，就不错确保单个粗管T_ρ内的细管将组织成再行缩放后维度为δ×ρc×c的颗粒。与单个粗管联系的颗粒基本上是不相交的；但来自不同粗管的颗粒之间可能存在重复。
颗粒的信得过维度ρc, c并未事先指定；Guth的论证将标明ρc昭彰大于δ，但除此以外莫得其他界限。原则上，咱们应该大概在不失一般性的情况下假定颗粒尽可能「大」。这意味着不再有维度为δ×ρ’c’×c’的更长的颗粒，其中c'宽阔于c；关于固定的c，也不存在维度为δ×ρ’c×c的更宽的颗粒，其中ρ’宽阔于ρ。
一种较为退化的情况是，存在维度约为δ×1×1的巨大颗粒（即ρ≈c≈1），使得Kakeya集E更像是平面板的并集。在这种情况下，Córdoba的经典L^2论证大概给出邃密的测度，因此这被说明是一个相对通俗的情况。是以咱们不错假定ρ或c中至少有一个很小（或两者齐小）。
当今咱们再行注释多重度不等式。这个不等式有些铺张，因为用于界说μ_fat的粗管占据了许多不在E中的空间。这里的一个校正不等式是：
其中μ_coarse不是粗管T_ρ的多重度，而是更小勾搭 的多重度。这里的短处点是，凭据颗粒性假定，每个 是基本不相交的中间维度δ×ρc×c颗粒的并集。因此，量μ_coarse基本上是在测量颗粒的多重度。
结果标明，经过顺应的再行缩放后，颗粒的摆设在局部上看起来像是ρ×ρ×1管的摆设。在理想情况下，这些管会呈现出Kakeya（或次级Kakeya）配置的特征，举例在给定方朝上莫得过多的管。（更准确地说，这里应该假定某种体式的Wolff公理，作家称之为「Katz-Tao凸Wolff公理」）。假定K(d)的一个合适变体将给出以下界限：
同期，粗管内的细管将酿成一个次级Kakeya配置，比Kakeya配置少约m倍的管。不错说明，通过使用K(d)不错在m上得回增益：
其中σ＞0是一个小常数。将这些界限代入（4）式，不错得到一个邃密的界限 ，这就导致了所需的增益K(d+α)。
因此剩下的情况是当颗粒不阐发为再行缩放的Kakeya或次级Kakeya配置时。Wang和Zahl引入了一个「结构定理」来分析这种情况，得出论断是颗粒将组织成一些更大的凸棱柱W，每个棱柱W中的颗粒阐发为「超等Kakeya配置」（比Kakeya配置有昭彰更多的颗粒）。然则，这些棱柱W的精准维度并未事先指定，需要进一步分情况商讨。
一种情况是当棱柱W是「厚的」，即统共维度齐昭彰大于δ。直不雅上讲，这意味着在小表率上，E在再行缩放后看起来像一个超等Kakeya配置。通过一个相配冗长的表率归纳论证，Wang和Zahl大概说明（一个合适变体的）K(d)意味着它自身的「X射线」变体，其中超等Kakeya配置的下界昭彰好于Kakeya配置的下界。这么作念的结果是，在这种情况下大概获多礼式为（3）的Frostman测度违反界限，如前所述，这已足以处治这种情况。
剩下需要处理的是棱柱W是「薄的」情况，即它们的厚度≈δ。在这种情况下，Córdoba的L^2论证，结合每个薄棱柱内颗粒的超等Kakeya性质，标明每个棱柱着实实足被勾搭E占据。这试验上意味着，这些棱柱W自己不错被视为Kakeya勾搭的颗粒。但这与颗粒维度的最大性相矛盾（若是一切设立正确）。
这一结果处理了完成表率归纳所需的临了剩余情况，从而说明了Kakeya料到！
参考府上：JHNYZ
https://terrytao.wordpress.com/2025/02/25/the-three-dimensional-kakeya-conjecture-after-wang-and-zahl/
https://mathstodon.xyz/@tao/114068378728816631
https://edu.sina.com.cn/gaokao/2007-09-03/172299220.shtml
https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/